Εσείς μπορείτε να δώσετε λύση στο παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης;

Εμείς θέλουμε να σας κάνουμε να σκεφτείτε και αν μπορείτε να δώσετε λύση στο πιο κάτω παράδοξο.
Κάποιος σας προτείνει να παίξετε ένα παιχνίδι τύχης με τους εξής όρους: Θα ρίχνετε συνεχώς ένα νόμισμα μέχρι αυτό να φέρει για πρώτη φορά Κορώνα. Αν αυτό συμβεί με την πρώτη σας προσπάθεια θα σας δώσει 2 ευρώ και το παιχνίδι θα τελειώσει. Αν συμβεί με τη δεύτερη προσπάθειά σας θα σας δώσει 4 ευρώ. Αν συμβεί με την τρίτη θα σας δώσει 8 ευρώ και γενικά όσο περισσότερο καθυστερεί η εμφάνιση της πρώτης Κορώνας, τόσο αυτός θα διπλασιάζει το ποσό που θα κερδίσετε. Το ερώτημα είναι ποιο είναι το μέγιστο ποσό που διατίθεστε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι;
Ας προσπαθήσουμε να δώσουμε μια μαθηματική απάντηση στο πρόβλημα στην περίπτωση που ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μία φορά και αν δεν φέρετε Κορώνα δεν θα πάρετε τίποτα. Τότε το αναμενόμενο κέρδος σας θα ήταν:

1/2 * 2 ευρώ + 1/2 * 0 ευρώ = 1 ευρώ και άρα μέχρι 1 ευρώ θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να παίξετε.
Αν ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μέχρι δύο φορές το πολύ και αν δεν φέρετε Κορώνα μέχρι τότε δεν θα πάρετε τίποτα, τότε το αναμενόμενο κέρδος σας θα ήταν:
1/2 * 2 ευρώ + 1/2 * (1/2 * 4 ευρώ + 1/2 * 0 ευρώ) = 2 ευρώ και άρα μέχρι 2 ευρώ θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να παίξετε.
Γενικεύοντας, γίνεται φανερό πως αν ο διοργανωτής σας έλεγε πως θα ρίξετε το νόμισμα μέχρι Ν φορές το πολύ, τότε θα σας συνέφερε να πληρώσετε μέχρι Ν ευρώ για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.

Στην πραγματική περίπτωση ο διοργανωτής δεν έθεσε περιορισμό για το μέχρι πόσες φορές μπορείτε να ρίξετε το νόμισμα και αυτό εξαρτάται μόνο από το πότε θα έρθει η πρώτη Κορώνα. Επειδή η πρώτη Κορώνα μπορεί να καθυστερήσει απεριόριστες επαναλήψεις να εμφανισθεί, προκύπτει πως σαν συμφέρει να πληρώσετε ένα απεριόριστα μεγάλο ποσό για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.

Παρ’ όλ’ αυτά, είναι απίθανο κάποιος να δεχτεί να πληρώσει περισσότερα από 10 ευρώ περίπου για να παίξει. Που νομίζετε ότι οφείλεται αυτή η τεράστια διαφορά μεταξύ του μαθηματικού υπολογισμού και της ανθρώπινης διαίσθησης;

Από τα πρώτα χρόνια της διατύπωσης της θεωρίας των πιθανοτήτων και του τύπου υπολογισμού της αναμενόμενης τιμής, διάφοροι μαθηματικοί έκαναν προτάσεις για τη λύση αυτού του παραδόξου. Θα αναφέρω τις δύο καλύτερες από αυτές:

Η πρόταση του Gabriel Cramer ήταν πως ο διοργανωτής του παιχνιδιού ίσως τελικά να μην μπορέσει να ανταποκριθεί στους όρους πληρωμής που έθεσε, μιας και το ποσό που θα πρέπει να πληρώσει αυξάνεται με γεωμετρική πρόοδο ενώ πρακτικά υπάρχει κάποιο όριο χρημάτων το οποίο δεν θα μπορέσει να υπερβεί. Αν π.χ. το ανώτερο ποσό που μπορεί να πληρώσει είναι 33,5 εκατομμύρια ευρώ, το Ν μπορεί να φτάσει μέχρι την τιμή 25. Οπότε 25 ευρώ είναι το αναμενόμενο κέρδος σας και αντίστοιχα το ποσό που θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.

Ο Daniel Bernoulli έκανε μια άλλη ενδιαφέρουσα παρατήρηση: Είπε πως όσο αυξάνονται τα ποσά, ο διπλασιασμός του επάθλου δεν συνεπάγεται και διπλασιασμό του οφέλους που αποκομίζει κανείς από το νέο έπαθλο. Με άλλα λόγια, αν υποθέσουμε πως ένα κέρδος 1.000 ευρώ μας κάνει μία φορά ευτυχισμένους, τότε ένα κέρδος 1.000.000 ευρώ μας κάνει λιγότερο από 1.000 φορές ευτυχισμένους. Όσο αυξάνονται τα ποσά τόσο επέρχεται κορεσμός της ευτυχίας που αποκομίζουμε από τα χρήματα. Όμως ο τύπος του αναμενόμενου κέρδους που χρησιμοποιήσαμε δεν λαμβάνει υπόψη αυτόν τον ανθρώπινο κοινωνικο-οικονομικό παράγοντα και στις περιπτώσεις που το υπολογιζόμενο κέρδος αυξάνεται με γεωμετρική πρόοδο θα ήταν πιο χρήσιμο για εμάς να αντικαταστήσουμε στον τύπο τα χρήματα με μονάδες οφέλους ή χρησιμότητας, με βάση κάποια συνάρτηση οφέλους που εξαρτάται από το ποσό που κερδίζουμε. Τέτοια παραδείγματα θα μπορούσαν να είναι η τετραγωνική ρίζα ή ο αλγόριθμος του ποσού, συναρτήσεις οι οποίες οδηγούν σε πεπερασμένες και μάλιστα μικρές αναμενόμενες αποδόσεις.